Python解决跳台阶、变态跳台阶、矩形覆盖问题

跳台阶、变态跳台阶、矩形覆盖其实都和斐波那契数列是一类问题。

跳台阶

问题描述：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析：
初始值很容易得到，当n > 2时，跳上n级台阶最后一步无外乎两种情况，从第n-1级跳一级跳上来，或是从第n-2级跳2级跳上来，因此很容易得到如下递归公式。

F（0）= 0
F（1）= 1
F（2）= 2
F（n）= F（n-1）+ F（n-2）（n > 2）

代码：

def jump_floor(number):
    if number <= 2:
        return number
    prev, curr = 1, 2
    for _ in range(3, number+1):
        prev, curr = curr, prev+curr
    return curr

变态跳台阶

问题描述：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析：
相比上一个跳台阶，这次可以从任意台阶跳上第n级台阶，也可以直接跳上第n级。因此其递归公式为各个台阶之和再加上直接跳上去的一种情况。

F（0）= 0
F（1）= 1
F（2）= 2
F（n）= F（n-1）+ F（n-2）+ … + F（2）+ F（1）+ 1 = 2 **（n-1）

代码：

def jump_floor(number):
    if number == 0:
        return 0
    return 2**(number-1)

矩形覆盖

问题描述：

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

分析：
仔细分析这个问题实际上就是普通的跳台阶问题。

F（0）= 0
F（1）= 1
F（2）= 2
F（n）= F（n-1）+ F（n-2）（n > 2）

代码：

def jump_floor(number):
    if number <= 2:
        return number
    prev, curr = 1, 2
    for _ in range(3, number+1):
        prev, curr = curr, prev+curr
    return curr